Matemaattinen platonismi: onko matematiikka löydetty vai tehty?

Matemaattinen platonismi on näkemys, jonka mukaan matemaattiset objektit ovat olemassa meistä ja tekemisistämme riippumatta; miten ajattelemme, kuinka puhumme, miten toimimme. Se on yksi vanhimmista ja vaikutusvaltaisimmista yrityksistä antaa selvitys matematiikan metafysiikasta.

Tässä artikkelissa annetaan ja selitetään matemaattisen platonismin perusmääritelmä. Tutkimme platonismia – ei pelkästään matematiikkaa, vaan yleisesti ottaen – ja selvennetään platonismin ja Platonin työn suhdetta. Sitten tarkastelemme Fregen argumenttia matemaattisen platonismin puolesta, jonka katsotaan laajalti olevan vaikutusvaltaisin tällainen argumentti. Lopuksi tarkastelemme myös useita matemaattisen platonismin vastalauseita.

Matemaattisen platonismin perusväite

Matemaattinen Platonismia katsoo, että matemaattiset objektit ovat olemassa ihmisen toiminnasta, ajattelusta ja kielestä riippumatta. Siksi voisimme sanoa, että se on näkemys, jonka mukaan matemaattiset esineet löydetään tai löydetään sen sijaan, että ihmiset rakentaisivat tai valmistaisivat niitä.

On syytä selventää, että 'matemaattinen objekti' ei tarkoita mitään teknistä tai monimutkaista; se viittaa kaikkeen, mikä voidaan määritellä matemaattisesti. Tämä kuulostaa melko yksinkertaiselta näkemältä, mutta se on petollinen. Ensinnäkin, mitä on löytää jotain sen luomisen sijaan, on kaikkea muuta kuin yksinkertaista.

Jotain löytämisen ja itse luomisen välillä ei ehkä ole tiukkaa eroa. Tämä pätee erityisesti käsitteellisiin objekteihin, kuten sellaisiin, joista matemaatikot ovat suurelta osin huolissaan. Yleensä olemme vain varmoja sanoessaan, että fyysinen esine olisi olemassa ilman ihmisen väliintuloa (vaikka sekin on erittäin kiistanalaista).

Matematiikan metafysiikka

Matemaattista platonismia vaikeuttaa myös se, että se on metafyysinen oppi. Se, mikä tarkalleen ottaen lasketaan metafysiikaksi, on varmasti kiistanalaista, mutta laajasti ottaen metafysiikka koskee pikemminkin sitä, miten asiat todella ovat, kuin esimerkiksi siitä, mitkä ovat tiedon ehdot; se olisi sen sijaan epistemologian huolenaihe.

Joten matemaattinen platonismi oletetaan olevan huolissaan siitä, mitä matemaattiset objektit todella ovat, eikä siitä, miten opimme tuntemaan ne. Silti tuntuu oudolta erottaa kysymys siitä, mitä matemaattiset objektit ovat, siitä, miten me ne tunnemme, ja siksi matemaattisen platonismin ilmaisema metafyysinen näkemys on historiallisesti liitetty väitteisiin suorasta tai välittömästä matemaattisten kohteiden tuntemisesta.

Tämä ei ole ainoa epistemologinen liikkua saatavilla; W.V.O Quine, yksi 1900-luvun vaikutusvaltaisimmista analyyttisista filosofeista ja kiihkeä matemaattinen platonisti, omasi empiirisen näkemyksen matematiikasta, mikä tarkoittaa, että tietomme siitä kertyy kokemuksen kautta eikä suoraan. On selvää, että minkä tahansa täydellisen selvityksen siitä, mitä teemme matematiikassa, on ylitettävä puhtaasti metafyysinen näkemys, mutta täällä ei ole tilaa tehdä niin.

Matemaattisen platonismin seuraukset

Matemaattisen platonismin omaksumisella on useita seurauksia, jotka on pidettävä mielessä, mutta tärkeimpiä niistä ovat seuraukset fysikalistiselle maailmankuvalle. Fysikaalisuus on periaatteessa sitä mieltä, että maailma voidaan selittää pelkästään sitä koskevien fyysisten tosiasioiden avulla. Matemaattinen platonismi on näkemys, jonka mukaan matemaattiset objektit ovat todellisia, ja koska matemaattiset objektit ovat käsitteellisiä pikemminkin kuin fyysisiä, tämä näyttäisi viittaavan siihen, että ei-fyysiset tosiasiat ovat osa täydellistä todellisuuden selitystä.

Matemaattinen Platonismi on erityisen voimakasta, koska matematiikalla on vahva väite olla johdonmukaisin, tieteellisin ja turvallisin tiedontuotannon ala. Lopuksi on syytä selventää, että vaikka matemaattisella platonismilla on hänen nimensä, sillä ei ole paljon tekemistä sen kanssa, mitä Platon todella sanoi ja mieti matematiikkaa. pikemminkin 'Platonismi' – joka voi koskea muitakin asioita kuin matematiikkaa – on yksinkertaisesti näkemys siitä, että jokin asia on olemassa meistä riippumattomasti. Ruokalaji oli 'platonisti' tässä mielessä, mutta 'platonismia' sovelletaan tavoilla ja asioilla, joita Platon ei välttämättä itse olisi tehnyt niin.

Fregen argumentti matemaattisen platonismin puolesta

Ehkä eniten keskusteltu argumentti matemaattisen platonismin puolesta ei tule Platonilta itseltään, vaan häneltä Luojan kiitos Frege . Frege on edelleen yksi vaikutusvaltaisimmat matemaatikot, logiikot ja kielenfilosofit nykyään , ja hänen matemaattisen platonismin teoriansa on yhtä vaikuttava.

Fregen argumentti perustuu kahteen lähtökohtaan. Ensinnäkin 'klassisena semantiikkana' tunnetun puolustuksen puolustaminen: nimittäin, että 'matematiikan kielen yksikkötermit viittaavat matemaattisiin objekteihin, ja sen ensimmäisen asteen kvantoijat pyrkivät vaihtelemaan sellaisiin objekteihin.' Toiseksi väite matematiikan totuudesta: 'Useimmat matemaattisiksi lauseiksi hyväksytyt lauseet ovat tosia (riippumatta niiden syntaktisesta ja semanttisesta rakenteesta).'

Edellinen väite edellyttää toimivaa ymmärrystä siitä, mitä matematiikka todella tekee, mikä Fregellä selvästi oli, ja se tarkoittaa väitettä, että matematiikan kielet todella ovat kieliä ja näiden kielten komponentit ovat järkeviä suunnilleen samalla tavalla kuin luonnolliset kielet.

Tämän väitteen puolustamiseksi voidaan toistaiseksi sanoa vain, että monet matemaatikot pitävät tätä näkemystä matematiikasta uskottavana; se ei ollut vain Fregen omituisuus piirtää tätä samalla tavalla matemaattisten kielten ja luonnollisten kielten (eli kielien, joita tavallisesti puhumme, kuten englanti tai italia) välille. Toiselle olettamukselle on tietysti useita argumentteja, mutta tarkoituksemme kannalta oletamme sen; useimmat filosofit tekevät, vaikka he ovatkin eri mieltä siitä, miksi.

Ontologinen sitoutuminen

The Fregean argumentin ymmärretään tavallisesti siirtyvän näistä kahdesta lähtökohdasta matemaattisen platonismin totuuteen 'ontologiseksi sitoutumiseksi' kutsutun käsitteen kautta. On olemassa useita tapoja ymmärtää 'ontologista sitoutumista', mutta asian ydin on, että lause on ontologisesti sitoutunut niihin objekteihin, jotka on oletettava, jotta lause olisi totta.

Kun väitämme, että matemaattiset lauseet sitoutuvat itsenäisesti olemassa oleviin matemaattisiin objekteihin tällä tavalla, meillä näyttää olevan valinnanvaraa. Joko kiellämme lähtökohdan matemaattisten lauseiden totuudesta (mitä harvat filosofit haluavat tehdä), tai hyväksymme matemaattisten objektien olemassaolon ja siten matemaattisen platonismin totuuden.

Matematiikan itsenäisyys

Emme ole vielä käsitelleet sitä, mitä matemaattisten objektien riippumattomuus merkitsisi. Filosofit ymmärtävät tämän väitteen yleisesti kontrafaktuaalisella tavalla; toisin sanoen he ymmärtävät sen kysymällä, mikä olisi erilaista matematiikassa, jos älykkäitä olentoja ei olisi koskaan ollut olemassa.

Ei ole vaikea ymmärtää, miksi itsenäisyysehtoa on vaikea kieltää tällä kontrafaktuaalisella tavalla. Ensinnäkin näkemys, jonka mukaan matematiikan totuudet olisivat täysin erilaisia, ovat periaatteessa epäuskottavia, jos ihmiset eivät kehittyisi niiden erottamiseen tarvittavaa älykkyyttä. Samoin matemaatikot ajattelevat usein hypoteettiseen (eli ei todelliseen). E.N Zalta esittää asian näin: 'Koska puhtaan matematiikan totuuksiin voidaan vedota vapaasti läpi kontrafaktuaalisen päättelymme, tästä seuraa, että nämä totuudet ovat kontrafaktuaalisesti riippumattomia meistä ihmisistä ja kaikesta muusta älykkäästä elämästä.'

Matemaattisen platonismin vastalauseita

Kuten tähän mennessä on esitetty, matemaattinen platonismi saattaa vaikuttaa varsin intuitiiviselta. Ei-matemaatikolle ajatus siitä, että matemaattiset objektit lakkaisivat olemasta, jos ihmisiä ei olisi koskaan ollut olemassa, näyttää oudolta. Matemaattista platonismia vastaan ​​on kuitenkin monia vastalauseita, joista osa on vain yrityksiä pehmentää sitä ja osa niistä muodostaa suoran hylkäämisen.

Jotkut näistä vastaväitteistä ovat melko teknisiä ja auttavat monimutkaisemaan matemaattisen platonismin ei-matemaatikoille esittämiä ongelmia. Yksi vastalause koskee kuitenkin tämän artikkelin alussa käsiteltyä perusteellisesti filosofista kysymystä: epistemologian ongelmaa ja sen suhdetta metafysiikkaan. Kysymys kuuluu: kuinka voimme oppia tuntemaan matemaattisia objekteja?

Yksi tällainen vastalause tulee Paul Benacerrafilta. Tämän vastalauseen lyhyt versio on seuraava. Jos matemaatikoiden tekemät johtopäätökset ovat luotettavia, ja meidän pitäisi siksi pystyä selittämään tämä luotettavuus, matemaattinen platonismi ei voi pitää paikkaansa.

Tämä viimeinen lähtökohta näyttää ilmestyvän tyhjästä, mutta se johtuu tavallisesti siitä tosiasiasta, että matemaattinen platonismi asettaa matemaattiset kokonaisuudet olemassa oleviksi tilan ja ajan ulkopuolella, joten ne tulisi kausaalisesti eristää meistä. Ei kuitenkaan ole selvää, että luotettavuus on määriteltävä kausaalisella tavalla. Missä mielessä pidämmekin matemaatikoiden tuloksia luotettavina, sen määrittelee määritelmämme siitä, mitä matemaatikot ylipäätään tekevät. Luotettavuuden määritelmämme tulisi seurata matematiikan määritelmäämme, ei päinvastoin.