Matematiikan filosofian perusongelmat

Matematiikan filosofian yksinkertaisimmat kysymykset osoittavat syvällisiä kysymyksiä: miksi 1+1 = 2? Miksi lause '1+1 = 2' tuntea niin erilainen kuin väite, kuten 'eilen satoi'? Mitä me edes tarkoitamme '1', '2', ...? Onko '1' olemassa? Jos on, miten ja missä? Nämä kysymykset ovat olleet filosofien saatavilla niin kauan kuin matematiikkaa on harjoiteltu. Ne ovat, kuten monet filosofian kysymykset, hyvin yleisiä ja hyvin vaikeita vastata – jotta voisi saada todellista järkeä väitteistä, kuten '1+1 = 2', näyttää siltä, ​​​​että tarvitaan paljon filosofista koneistoa, kuten tapahtui esimodernia tutkimusmatkaa matematiikan filosofiaan. Platonista Leibniziin ja Kantiin vastaukset yllä oleviin kysymyksiin johtivat ja muodostivat osan suurempaa järjestelmää: matematiikan filosofiaa.

Matematiikan filosofia: Yksinkertaisimmista kysymyksistä monimutkaisimpiin kysymyksiin

Sekä matematiikka että filosofia ovat muuttuneet hirveän paljon lyhyessä ajassa. Vanhat huolenaiheet ohjaavat edelleen tutkimusta: matematiikan filosofien on määritettävä, millainen olemassaolo myönnetään esineille, kuten '1' ja 'ympyrä', ja millainen totuus väitteille, kuten '1+1 = 2'. Mutta moderni matematiikka esittää filosofeille uusia ja häiritseviä kysymyksiä ja osoittaa esineitä, joiden luonnetta on vielä vaikeampi tunnistaa. Nämä kysymykset ovat loihtineet niin erilaisia ​​ja yhteensopimattomilta näyttäviä vastauksia, että matematiikan filosofia voi tuntua oudolta lajilta, jossa valitaan puolensa ja puolustetaan sitä uskonnollisesti kaikkia muita vastaan. On tärkeää huomata, että 'puolia' on niin monia, että olisi mahdotonta toivoa kattaa ne kaikki näin lyhyessä johdannossa kuin nyt luet.

Tämä ei suinkaan tarkoita sitä, että matematiikan filosofia kärsisi enemmän mielipiteiden moninaisuudesta kuin muut filosofian alueet. Kuitenkin saadaksesi tuntumaa matematiikan filosofisen ajattelun hankalasta liiketoiminnasta, on parasta olla unohtamatta näiden eri koulujen taustalla olevia matemaattisia huolenaiheita. Matematiikan filosofian omituinen piirre on taipumus aidon matematiikan, ei vain filosofian, syntyä filosofisesta tutkimuksesta, ja yhtä lailla matemaattinen edistys törmätä syviin perusongelmiin. Yhtäältä matematiikan filosofia ja toisaalta metamatematiikka (matematiikan perusteiden tutkiminen matemaattisia tekniikoita käyttäen) liittyvät melko suoraan historiallisesti toisiinsa, ja kummastakin on tullut yhä tärkeämpi toiselle.

David Hilbert: Suuri projekti matematiikan (filosofian) alalla

Katsotaanpa historiallista kaaria, joka koskettaa monia matematiikan filosofian avainkysymyksiä, puhtaan filosofian ja puhtaan matematiikan välisen vuorovaikutuksen mikrokosmosta: matemaatikko David Hilbertin projektia ja erityisesti hänen kiistaaan toisen vaikutusvaltaisen ajattelijan kanssa. , L.E.J. Brouwer. Kun puhdas matematiikka kypsyi 1800-luvulla ja tapahtui yhä abstraktimpien ja epäintuitiivisempien käsitysten pohjalta, matemaatikot ja filosofit näkivät selvästi tarpeen tutkia aiheen perusteita vakavasti. Heidän joukossaan oli Hilbert, keskeinen toimija pyrkiessä luomaan pohjatyöt loogiselle ja vankkalle aiheelle käytännössä. Hän toivoi kääntävänsä näkemyksen, jonka mukaan matematiikka on täydellinen, rationaalinen tiede, jonka niin monet filosofit jakavat, konkreettiseksi.

Hilbertin ajatuksen motiivina oli hänen aikansa syvästi moderni matematiikan kehitys. Erityisesti hän halusi antaa pysyvän kodin matematiikan alalla ääretön . Työ Bolzano ja Kanttori joukkoteoriassa (joukko on naiivisti vain kokoelma asioita, jotka on järjestetty nimiön alle) käsiteltiin vakavasti ja tiukasti ajatusta todellinen äärettömyys; toisin sanoen äärettömille objekteille myönnetään oma olemassaolonsa. Esimerkiksi sarja kaikki kokonaisluvut {1, 2, …} objektina itsessään on todellinen ääretön; toisaalta, kun käsitellään vain mielivaltaisen suuria lukuja, tarvitaan vain käsite potentiaali ääretön, joka oli ollut matemaatikoiden ontologisessa työkalupakkissa vuosisatoja. Kaikkien aikakausien filosofit olivat tehneet tämän eron – käsitys todellisesta äärettömästä ei ollut uusi. Siitä huolimatta Cantor esitti sen merkityksiä joukkoteoriassa ensimmäistä kertaa. Avain oli yksinkertainen tapa ajatella uudelleen numeron käsitettä.

Sarjat, laskenta ja ääretön

Jokapäiväinen käsityksemme setin koko pelkistyy yksinkertaiseen laskemiseen: kun otetaan huomioon kaksi esinekokoelmaa, voimme kertoa, ovatko ne samankokoisia, laskemalla kunkin kokoelman esineet ja vertaamalla vastauksia – minulla on kolme omenaa, sinulla on kolme banaania. Cantor perehtyi käsitteeseen 'olla saman kokoinen' ja abstrakti käsitteen henkilökohtainen kirjeenvaihto: sarjat ovat samankokoisia toistensa kanssa, jos niiden elementit voidaan yhdistää – jos jokaiseen banaaniisi voin määrittää täsmälleen yhden omenoistani. Mutta tällä yksinkertaisella abstraktiolla saamme ilmaiseksi tavan puhua äärettömien joukkojen 'koosta': voimme kutsua kahta ääretöntä kokoelmaa samankokoiseksi, jos voimme laittaa ne tällaiseen yksitellen vastaavuuteen. Kuten käy ilmi, on olemassa äärettömiä joukkoja, joita ei voida yhdistää yksi yhteen tällä tavalla. Siellä sattuu olemaan esimerkiksi 'enemmän' todellisia lukuja (eli koko lukurivi – äärettömät desimaalit ja kaikki) kuin kokonaisluvut, vaikka molemmat joukot ovat äärettömiä.

Kantorin lause: Äärettömät äärettömät

Siitä tulee oudompaa - Kantorin lause kertoo meille pohjimmiltaan, että niitä on paljon eri äärettömistä: itse asiassa äärettömän monta, ja kun otetaan huomioon mikä tahansa ääretön kokoelma, aina on suurempi. Tämä uusi tapa käsitellä numeron käsitettä johti tutkimukseen kardinaalit, jotka ovat tietyssä mielessä radikaali laskennan laajennus, jonka avulla voimme puhua kaikenlaisista todellisista äärettömyydestä.

Nämä oudot ilmiöt johtavat siihen, että monet johtavat matemaatikot ponnistelevat voimakkaasti tätä uutta todellista ääretöntä vastaan, kuten Henri Poincaré, joka julisti, että 'Ei ole olemassa todellista äärettömyyttä, kantorilaiset ovat unohtaneet sen ja ovat joutuneet ristiriitaan.' Cantorin ideat, vaikka ne ovat nykyään lähes kaikkialla matematiikassa, eivät olleet alun perin suosittuja.

Mutta joillekin – Hilbertille heidän joukossaan – tämä murto äärellisestä oli suuri voitto matematiikan vapaalle kehitykselle. Hilbertille Cantorin infiniitin matemaattinen luotettavuus oli esteettisesti erittäin tärkeä asia, kuten voidaan ymmärtää hänen pahamaineisesta lainauksestaan: 'F paratiisista, jonka Cantor loi meille, kukaan ei voi karkottaa meitä ”.

Matemaattinen realismi vs. matemaattinen formalismi

Matematiikan filosofian näkökulmaerot voidaan osittain kalibroida asenteilla näitä uusia äärettömiä kohtaan. Hilbertin näkemys asetti hänet jyrkästi toisen huomattavan ajattelijan, L. E. J. Brouwerin, kanssa, mikä johti pahamaineiseen filosofiseen kilpailuun.

Hilbert piti matematiikkaa eräänlaisena pelinä, joka käsittelee pelkästään symbolien manipulointia tiettyjen sääntöjen mukaisesti. formalismi . Tämä näkemys ei välttämättä estä tulkitsemasta tätä 'kaavapeliä' tällä-tai-sillä tavalla todellisuuteen liittyvänä, mutta se vaatii perusmuodossaan vähemmän sitoutumista ongelmallisiin matemaattisiin 'kokonaisuuksiin' kuin vanhoihin muotoihin. matemaattista realismia , kuten platonismia (Näkymä vuodelta luonnollisesti takaisin Ruokalaji , jonka mukaan matemaattiset objektit, kuten '1' ja 'ympyrä', ovat todella olemassa pysyvinä objekteina tavalla, joka on riippumaton meistä ja ymmärryksestämme niistä). Brouwer ymmärsi matematiikan kolmannella tavalla, joka oli radikaalisti erilainen molemmista näkökulmista.

Yksi Hilbertin tunnetuimmista teoreemoista ja hänen ja Brouwerin välisen syvän erimielisyyden ydin on hänen ns. Peruslause . Pienemmillä yksityiskohdilla ei ole merkitystä: se, mikä oli mielenkiintoista filosofeille ja vastahakoista Brouwerille, oli tapa, jolla Hilbert osoitti sen. Hilbertin peruslause on olemassaolon lause - se ottaa muodon ' on vähintään yksi X'. Kun matemaatikot joutuvat osoittamaan, että 'on vähintään yksi X', he voivat valita toisen kahdesta lähestymistavasta: heidän on joko näytettävä, kuinka tällainen X löydetään, tai osoitettava, että se on mahdotonta että sellaista X:ää ei ole. Ensimmäisen tyyppisiä todisteita kutsutaan rakentava , ja toisen tyyppisiä todisteita kutsutaan ei-rakentava. Hilbertin peruslauseen todistus oli ei-konstruktiivinen. Brouwer teki ongelman: hän perusti ja puolusti intohimoisesti lähestymistapaa matemaattiseen filosofiaan, joka tunnetaan nimellä intuitionismi .

Intuitionismi ja konstruktivismi

Intuitionisti kieltäytyy pitämästä matemaattisia esineitä asioina, jotka eivät ole mielen toiminnan rakentamia. Brouwerille Hilbertin kaltaiset ei-konstruktiiviset todistustekniikat olivat vakavasti ongelmallisia. Laajempi matemaattisen filosofian koulukunta, joka hylkää nämä ei-konstruktiiviset todisteet, tunnetaan nimellä konstruktivismia . Konstruktivistit torjuvat usein todellisen äärettömän olemassaolon matematiikassa, joka itsenäisenä näkemysnä tunnetaan nimellä finitismi (yhdessä sen melko reuna-serkkunsa kanssa, ultrafinitismi , joka hylkää jopa rajalliset objektit, jotka ovat 'liian suuria järkevästi rakennettavaksi'). Hilbert ja Brouwer eivät siis tarjonneet vain erilaisia ​​näkökulmia matemaattisten objektien todellisuuteen ja pätevyyteen, vaan myös radikaalisti erilaisia ​​tapoja tehdä matematiikkaa.

Molemmat synnyttivät uuden tutkimuksen itse matemaattisesta logiikasta: intuitionistinen logiikka tutkii loogisia järjestelmiä ilman poissuljetun keskikohdan lakia ja on tähän päivään asti aktiivinen tutkimusala. Tunnetuimmin kuitenkin Hilbertin varhaisen formalistisen lähestymistavan optimistisena tavoitteena oli sellaisen aksiomaattisen järjestelmän luominen (aksioomit, jotka olivat aina oletettuja totta), josta kaikki matematiikka voitiin johtaa ja joka itsessään oli vapaa ristiriitaisuuksista. Näitä käsitteitä – vastaavasti kutsutaan täydellisyyttä ja johdonmukaisuus matemaattisessa logiikassa – molemmat näyttivät olevan täysin järkeviä asioita kysyä valitsemaltasi matemaattisilta perusteilta.

Vuonna 1900 Hilbert julkaisi luettelon 23 tehtävästä, jotka hän piti silloisen nykymatematiikan kärjessä. Toiseksi luettelossa oli osoittaa, että hänen aritmeettisen aksioominsa olivat johdonmukaisia. Tämä aksioomajärjestelmä tarjosi meille tutut tavanomaiset aritmeettiset perusrakenteet – luvut, yhteen-, vähennyslasku jne. – ja toivottiin olevan riittävän tehokkaita myös muun matematiikan formalisoimiseksi.

Gödelin epätäydellisyyslause: Ongelmia paratiisissa

Kurt Gödelin nyt surullisen kuuluisat kaksi epätäydellisyyden lausetta tyrmäsivät Hilbertin projektin tähtimäisemmät tulkinnat osoittamalla, että Ei aritmetiikkaa sisältävä aksioomijärjestelmä voi todistaa oman johdonmukaisuutensa. Ne ovat tarkkoja ja hienovaraisia ​​loogisia lauseita, ja filosofit ovat olleet varovaisia ​​pohtiessaan niiden seurauksia matemaattiselle realismille (Gödel itse oli edelleen sitoutunut platonisti).

Vaikka Hilbertin ohjelma ei ollut välttämättä Gödelin jälkeen täysin pysähdyksissä teoreemat olivat matemaattisen logiikan vedenjakaja – ja ovat olleet loputtoman filosofisen keskustelun kohteena siitä lähtien. Hilbertin lähestymistapa ei ollut ensimmäinen eikä viimeinen sana matematiikan aksiomaattisista perusteista. Paljon suuria projekteja oli olemassa.

Frege ja myöhemmin Russell johtivat logistiikka lähestymistapaa, jonka tarkoituksena oli pelkistää matemaattiset lauseet logiikan väitteiksi. Russell löysi tunnetusti vakavan ongelman Fregen lähestymistavasta – yksi hänen aksioomistaan, jonka tarkoituksena oli mahdollistaa joukon luominen vetoamalla kaikkien tiettyä ominaisuutta tyydyttävien asioiden joukkoon, joutui ristiriidan, joka tunnetaan nykyään nimellä Russellin paradoksi: että kaikkien joukkojen joukko, jotka eivät sisällä itseään, järjetön kokonaisuus, on tämän lain sallittu. Gödelin teoreemat puolestaan ​​näyttivät jarruttavan Russellin omia logiikan tavoitteita, ja matemaatikot kääntyivät vähemmän kunnianhimoisiin lähestymistapoihin. Frege ja Russell olivat molemmat itse olennaisia ​​​​alkuperäisessä kehityksessä Ludwig Wittgenstein , jonka työllä on laaja valikoima lisävaikutuksia matematiikan filosofiaan, mukaan lukien logiikan asema ja niiden suhde luonnolliseen kieleen.

Vanhat kysymykset, uudet kysymykset: matematiikan filosofian tulevaisuus

Lopulta joukkoteorian aksiomatisoinnin ongelmaan löydettiin toimiva ratkaisu Zermelo-Fraenkel-aksioomien muodossa (yhdessä valintaaksiooman kanssa, historiallisesti kiistanalainen, jos vähemmän nykyään) ... Käytännössä tämä ontologia – joka sisältää vain yksi esine, a aseta , josta kaikki on rakennettu – on matemaatikoiden 'oletus' nykyään (vaikka ei suinkaan ainoa vaihtoehto).

Zermelo-Fraenkel-joukkoteoria kulkee koko matkan varrella filosofisesta spekulaatiosta konkreettiseen matemaattiseen tietoon – se on nyt itse logiikan tutkima matemaattinen objekti. Mutta aivan kuten Cantorin käsitys aseta haastoi filosofien tavan ajatella matematiikasta, joten uudemmat abstraktiot alkavat tehdä samoin, kun uusia perustavia lähestymistapoja tulee ja menee. Sen lisäksi, että vanhat kysymykset ovat vielä tuoreita, uusia kysymyksiä syntyy myös uusista matematiikan ideoista, jotka eivät aina jää pitämään filosofeja kiireisinä, kun filosofian ja matematiikan välinen vuorovaikutus syvenee.