Bertrand Russellin paradoksi selitettynä

Bertrand Russell, yksi 1900-luvun vaikutusvaltaisimmista matemaatikoista, loogikoista ja filosofeista, antaa nimensä yhdelle modernin ajan tunnetuimmista ja vaikutusvaltaisimmista loogisista paradokseista. Vaikka jotkin muinaisista paradokseista, tunnetuimmin Zenon kehittämät, liittyvät logiikan tai päättelyn ongelmiin sinänsä, Russellin paradoksi on ongelma rajoitetulle logiikan teorioiden joukolle, erityisesti niille, jotka tunnetaan 'naiivina joukkona'. teorioita'. Tässä artikkelissa tutkimme tätä paradoksia, historiallista kontekstia, jossa se esiintyi, ja sen seurauksia filosofiaan ja logiikkaan.

Esittelyssä Russellin paradoksi

Kuten jo mainitsimme, Russellin paradoksi koskee naiivia joukkoteoriaa. 'Naiivi' tässä ei ole halventavaa, vaan se vain erottaa ne aksiomaattisista teorioista (jotka edeltävät muodollisessa logiikassa määriteltyjä aksioomeja). Muodollinen logiikka viittaa tässä kaikkiin yrityksiin tutkia argumentteja ja päättelyä, joka edellyttää niiden esittämistä muodollisilla kielillä, jotka ovat keinotekoisia ja luotu erityisesti päättelyn ja argumenttien tutkimista varten. Tämä on toisin kuin epämuodollinen logiikka, joka tutkii argumentteja ja päättelyä keskittymällä luonnollisiin kieliin, kuten englantiin.

Naiivit joukkoteoriat alkavat epävirallisilla määritelmillä; ne, joita löydämme luonnollisista kielistä, eivätkä muodollisia loogisia kieliä, joita matemaatikot tai logiikot (logiikkaa opiskelevat filosofit) keksivät itselleen.

Paradoksin ydin

Paradoksin ydin koskee joukkoja, jotka näyttävät olevan sekä itsensä jäseniä että eivät itsensä jäseniä. Sen sijaan, että alun perin esittäisimme paradoksia termeillä, joilla matemaatikoilla ja loogikoilla on tapana ajatella sitä, voimme aloittaa tarkastelemalla epämuodollisempaa esimerkkiä.

Ajattele parturi-paradoksia: Kuvittele parturi, joka ajaa kaikki kylän miehet, jotka eivät aja itseän parranajoa, ja vain ne miehet, jotka eivät ajele itseään. Ajeleeko parturi itsensä? Jos sanomme: 'Ei', niin hän on mies tässä kylässä, joka ei aja itseään, ja kenen sitten pitää ajaa hänet? Parturi! Mutta hän on parturi, joten hän tekee itse asiassa ajella itsensä. Jos sanomme 'kyllä', hän on mies, joka ajelee itsensä, joten parturi ei voi ajaa häntä ajella, mutta se tarkoittaa, että hän itse asiassa ei ajella itsensä ja niin edelleen.

Tämä saattaa tuntua luonnollisen ilmaisun harmittomalta uteliaisuudesta, ja ongelma saattaa näyttää ratkaisevan yksinkertaisesti vastaamalla: 'Tällaista parturia ei voi olla olemassa'. Tämä paradoksi ei kuitenkaan ole vaaraton logiikoille ja matemaatikoille. Itse asiassa, vaikka jotkut paradoksien seurauksista ovat edelleen kiistanalaisia. Välittömiin seurauksiin sisältyi suuren haavoittuvuuden löytäminen lupaavimmissa yrityksissä vahvistaa matematiikkaa muodollisen logiikan avulla.

Russellin paradoksi, Fregen projekti

Bertrand Russell kehitti Russellin paradoksin laajasti vastauksena saksalaisen matemaatikon, loogikon ja filosofin Gottlob Fregen työhön. Tarkemmin sanottuna Russell esitti paradoksin vastauksena joukkojen käsitteeseen, jota Frege käytti artikuloidessaan kokonaisvaltaista, elinikäistä projektiaan, joka oli yritys osoittaa, että matematiikka oli pelkistettävissä logiikaksi.

Tässä ei ole tilaa kattaa Fregen kokonaisprojektin joukon tarkkaa toimintaa, mutta voimme tiivistää hänen joukkoteoriansa seuraavasti. Fregelle joukot vastaavat suhteessa yksi yhteen ominaisuuksien kanssa. Jokaista ominaisuutta vastaa joukko asioita, joilla on mainittu ominaisuus. Esimerkiksi sarjassa, joka vastaa ominaisuutta olla vuoden 2021 miesten Ballon d’Orin voittaja, olisi yksi jäsen, nimittäin Lionel Messi. Meidän on pidettävä mielessä tämän teorian eteenpäin viemisessä, että se noudattaa sitä, mitä on alettu kutsua 'rajoittamattoman ymmärtämisen periaatteeksi'. Yksinkertaisesti sanottuna tämä periaate pätee, että jokaiselle omaisuudelle on joukko kaikki ja vain esineet, joilla on tämä ominaisuus.

Hienostuneita settejä

Kaikki joukot eivät ole yhtä yksinkertaisia ​​kuin juuri mainitsemamme esimerkit, ja on tärkeää huomioida joitain filosofisia kysymyksiä, joita tämä joukkokäsitys herättää. Harkitse kysymystä siitä, mitä sisältyy punaisuuden ominaisuutta vastaavaan joukkoon, eli joukkoon, joka sisältää kaikki punaiset asiat. Maailmankaikkeudessa ei ole äärettömän monta asiaa, joten joukko ei ole äärettömän suuri. Se on hypoteettista, koska emme tiedä jokaisesta punaisesta asiasta, emmekä ehkä edes periaatteessa tiedä jokaisesta punaisesta asiasta. Onko tällainen setti ajateltavissa? Onko se kuviteltavissa?

Väriteoriamme on varmasti yksi tekijä. Se, miten käsitämme tämän joukon, riippuu varmasti siitä, määräytyvätkö punaisen olemuksen laadun tosiasiat ihmisen kielestä, ihmisen havainnosta tai muista 'kognitiivisista' kyvyistä vai onko punainen luonnollinen ominaisuus. Monille filosofeille ei todellakaan voida hyväksyä kielen erottamista kognitiosta luonnosta tällä tavalla. Yhä hienompia argumentteja syntyy, kun yritämme karakterisoida joukkoja ja ominaisuuksia tällä tavalla.

Mahdottomat ominaisuudet

Riippumatta Fregen joukkoteorian ongelmista, se välttää ongelmia, jotka kohtaavat muita joukkoteorioita, ja joka tapauksessa sillä on tärkeä rooli Fregen yleisessä teoriassa. Joten mikä oli ongelma, jonka Russell asetti Fregen teorialle? Se sai aikaan käsityksen joukoista, jotka ovat itsensä jäseniä, ja mahdollisen ristiriidan Fregen ajattelutavalle joukoista.

Jos katsomme, että 'ei ole itsensä jäsen' ominaisuutena, herää kysymys: onko joukko kaikkia joukkoja, jotka eivät ole itsensä jäseniä (jota voimme kutsua A ), itsensä jäsen? Jos vastaamme 'kyllä', väitämme sen A on itsensä jäsen, mutta tässä ei tietenkään ole mitään järkeä, koska silloin se ei ole määritelmän mukaan itsensä jäsen. Samoin jos vastaamme 'ei', tässäkään ei ole mitään järkeä, koska se on silloin määritelmän mukaan itsensä jäsen.

Kokonaisluokkien ongelma

Siihen liittyy kokonaisvaltaisia ​​luokkia koskeva ongelma. Russell esittää asian näin: 'Katsottavan luokan, jonka tarkoituksena on omaksua kaikki, on omaksuttava itsensä yhdeksi jäsenistään. Toisin sanoen, jos on olemassa sellainen asia kuin 'kaikki', niin 'kaikki' on jotain ja kuuluu luokkaan 'kaikki'. Mutta yleensä luokka ei ole itsensä jäsen. Esimerkiksi ihmiskunta ei ole mies. Muodosta nyt kaikkien luokkien kokoonpano, jotka eivät ole heidän itsensä jäseniä. Tämä on luokka: onko se oman itsensä jäsen vai ei? Jos on, se on yksi niistä luokista, jotka eivät ole itsensä jäseniä, ts. se ei ole oman itsensä jäsen. Jos ei ole, se ei ole yksi niistä luokista, jotka eivät ole itsensä jäseniä, ts. se on oman itsensä jäsen. Siten kahdesta hypoteesista – että se on ja että se ei ole oman itsensä jäsen – kumpikin merkitsee sen ristiriitaisuutta. Tämä on ristiriita.'

Sana Fregestä

Ennen kuin siirryt eteenpäin, kannattaa laittaa sana kysyi , sekä filosofina että ihmisenä. Fregen projekti matematiikan pelkistämiseksi logiikaksi oli epäilemättä epäonnistunut. Frege oli kuitenkin kaukana filosofisesta epäonnistumisesta. Noin viimeisen vuosisadan aikana hän on osoittautunut yhdeksi, ellei tärkeimmistä logiikan, matematiikan ja kielen filosofeista.

Michael Dummett, omana oikeutensa huomattava filosofi, on sitä mieltä, että kaikkea 'analyyttistä' filosofiaa, englanninkielisissä yliopistoissa harjoitettua hallitsevaa linjaa, pitäisi todellakin kutsua 'post-fregealaiseksi filosofiaksi', joten Frege oli niin vaikutusvaltainen sen kehityksessä. kehitystä. Russell toi paradoksin Fregen huomion aivan kuin Fregen toinen painos Aritmetiikan peruslait oli menossa lehdistölle.

Fregen suurläheisyys

Frege tunnettiin ystävällisyydestään ja kollegiaalisesta velvollisuudestaan. Hän vastaa mm Ludwig Wittgensteinin päätti työskennellä Russellin kanssa Cambridgessa. Tämä paradoksi, kuten Fregen on täytynyt tietää, uhkasi horjuttaa paitsi hänen koko kirjaansa, myös projektia, jolle hän oli omistanut koko tuottoisen elämänsä. On syytä korostaa, kuinka hämmästyttävän jalomielinen Fregen vastaus oli, jota Bertrand Russell itse kuvaili näin:

'Hänen koko elämäntyönsä oli valmistumisen partaalla, suuri osa hänen työstään oli jätetty huomiotta äärettömästi vähemmän kykenevien ihmisten hyväksi, hänen toinen osansa oli ilmestymässä, ja havaittuaan, että hänen perusoletuksensa oli virheellinen, hän vastasi henkisellä nautinnolla upottaen selvästi kaikki henkilökohtaisen pettymyksen tunteet. Se oli melkein yli-inhimillistä ja osoitus siitä, mihin ihmiset pystyvät, jos heidän omistautumisensa on luova työ ja tieto sen sijaan, että he yrittäisivät hallita ja tulla tunnetuksi. Sellaisen henkilön jatkuvaa älyllistä merkitystä ja asemaa on vaikea katella tämän päivän filosofien keskuudessa .

Russellin paradoksin merkitys: Voimme päätellä mitä tahansa ristiriitasta!

Russellin paradoksin merkitys voidaan tuntea, kun ymmärrämme sen mitä tahansa seuraa ristiriitaa, joka ei ole ilmeinen ensi silmäyksellä. Tätä on vaikea osoittaa tässä, mutta noudata tätä klassisen logiikan peruskehystä:

Jos siinä on ristiriita, se on sama kuin sen sanominen P ja silti, samaan aikaan, ei- P, missä P on mikä tahansa lause, jolla on totuusarvo. P voisi olla esimerkiksi lause: 'Frege on logiikka'. On ristiriitaista sanoa sekä 'Frege on loogikko' että 'Frege ei ole loogikko'. Jos oletetaan molempia P ja ei- P, voimme saada minkä tahansa lauseen seuraamaan tästä seuraavalla tavalla:

Jos P on totta, silloin on välttämättä totta, että yksi niistä P tai K (joku muu lause) ovat totta; loppujen lopuksi tiedämme P on jo totta, joten vaikka K on epätosi, toinen kahdesta lauseesta on tosi, joten toinen P tai K on totta. Mutta koska oletamme myös, että ei- P on totta, ja olemme osoittaneet, että yksi niistä P tai K on totta, meidän on pakko sanoa se K on totta. Tämä on hullua, eikä sitä saa tapahtua! Meillä ei ole aavistustakaan mitä K On; se voisi olla täysin järjetön tai täysin epäuskottava lause, ja silti meidän on pakko sanoa, että se on totta logiikan peruslakien mukaan. Sellainen on ristiriidan voima.

Uskottavia vastauksia Russellin paradoksiin

Russellin paradoksiin on tarjottu erilaisia ​​vastauksia. Yhtä luonnollisempaa ratkaisua tarjosi Russell itse. Russellin oma vastaus, joka on kehitetty yhdessä A.N Whiteheadin kanssa, pyrkii välttämään paradoksia järjestämällä kaikki lauseet eräänlaiseen hierarkiaan ja katsoen, että kaikkiin objekteihin on mahdollista viitata tietyssä tilassa vain, jos ne ovat samaa tasoa tai tyyppiä. . Tämän ilmoitettu tarkoitus on välttää niin sanotut 'noidankehät', jotka syntyvät siitä, mitä he kuvailevat 'esineiden kokoelma voi sisältää jäseniä, jotka voidaan määritellä vain kokoelman avulla'.

Tämä yleinen strategia syntyy näkemyksestä, että mitään funktiota ei voida soveltaa objekteihin, jotka edellyttävät itse funktiota. Tämä muodostaa siis eräänlaisen toimintahierarkian, jonka avulla voimme säilyttää sen, mikä on hyödyllistä joukon käsitteestä. Tämä ei ole ainoa toimiva lähestymistapa. David Hilbert esimerkiksi omaksuu niin sanotun 'formalistisen' näkemyksen, joka kannattaa vain rajallisten, hyvin määriteltyjen objektien käyttöä. Viimeinen lähestymistapa, 'intuitionismi', jonka on kehittänyt Luitzen Brower , katsoo, ettei matemaattisen objektin olemassaoloa voida väittää, ellei voida kuvata menettelyä, jolla se voidaan rakentaa.